正态分布计算器

交互式正态分布计算器

免费的在线正态分布计算器（高斯分布、钟形曲线）。它可以计算任意正态分布 N(μ, σ²) 的概率、分位数（反正态分布）、概率密度 以及 z 分数，并配有交互式图表、分步计算，以及等效的 R 代码和 Excel 公式。

可以计算的内容

• P(X ≤ x) — 直到该取值的累积概率（CDF）。
• P(X ≥ x) — 上尾概率（1 − CDF）。
• P(x₁ ≤ X ≤ x₂) — X 落在 x₁ 与 x₂ 之间的概率。
• P(X ≤ x₁) + P(X ≥ x₂) — X 落在区间之外的概率（双尾）。
• 概率密度 f(x) — 概率密度函数在 x 处的取值。
• 由 P(X ≤ x) 求 x — 给定累积概率对应的取值（反 CDF、分位数、百分位数）。
• 由 P(X ≥ x) 求 x — 给定上尾概率对应的取值。
• 尾部数值 x₁, x₂ — 由两个尾部概率求两侧尾部的取值。
• Z 分数 — 标准分数，z = (x − μ)/σ。

使用方法

1. 输入均值 (μ) 和标准差 (σ)。留空则表示标准正态分布 (μ=0, σ=1)。
2. 选择要计算的内容 — 小图标会显示曲线中将被着色的区域。
3. 输入取值或概率，然后点击 计算。
4. 探索图表：将鼠标悬停在任意位置可读取 x、概率密度 f(x) 和累积概率；拖动圆形手柄可移动边界 — 结果会随拖动实时更新。

正态分布概率密度函数

f(x) = 1σ√(2π) exp(−(x − μ)²2σ²)     以及 z 分数：   z = x − μσ

什么是正态分布？

正态分布，也称为高斯分布，是统计分析中使用最广泛的分布。 许多自然测量都服从或近似服从它 — 例如身高、体重和测量误差。 它具有对称的“钟形曲线”形状：大多数数据集中在均值附近，取值离中心越远，频率越低。

根据中心极限定理，许多相互独立的随机变量之和或平均值的分布会趋向于正态 分布，即使这些变量本身并不服从正态分布 — 样本量越大，近似程度越高。

标准正态分布是 μ = 0 且 σ = 1 的特例。当 X 服从 N(μ, σ²) 时， 标准化后的值 z = (x − μ)/σ 服从标准正态分布，因此任何正态概率都可以 通过标准正态分布的 CDF 计算：P(X ≤ x) = Φ(z)。本计算器正是这样做的 — 并在分步计算部分展示标准化过程。

需要其他分布（二项分布、t、卡方、F、泊松…）吗？请使用 所有分布计算器。