Rechner für die Normalverteilung

Interaktiver Rechner für die Normalverteilung

Kostenloser Online-Rechner für die Normalverteilung (Gauß-Verteilung, Glockenkurve). Er berechnet Wahrscheinlichkeiten, Quantile (inverse Normalverteilung), die Dichte und Z-Werte für jede Normalverteilung N(μ, σ²) — mit einem interaktiven Diagramm, einer Schritt-für-Schritt-Berechnung sowie dem entsprechenden R-Code und den Excel-Formeln.

Was du berechnen kannst

• P(X ≤ x) — kumulative Wahrscheinlichkeit bis zu diesem Wert (Verteilungsfunktion).
• P(X ≥ x) — Wahrscheinlichkeit des oberen Randbereichs (1 − Verteilungsfunktion).
• P(x₁ ≤ X ≤ x₂) — Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen x₁ und x₂ liegt.
• P(X ≤ x₁) + P(X ≥ x₂) — Wahrscheinlichkeit, dass X außerhalb des Bereichs liegt (beide Randbereiche).
• Dichte f(x) — Wert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion an der Stelle x.
• x aus P(X ≤ x) — der Wert für eine gegebene kumulative Wahrscheinlichkeit (inverse Verteilungsfunktion, Quantil, Perzentil).
• x aus P(X ≥ x) — der Wert für eine gegebene Wahrscheinlichkeit des oberen Randbereichs.
• Randwerte x₁, x₂ — beide Randwerte aus zwei Randwahrscheinlichkeiten.
• Z-Wert — der Standardwert, z = (x − μ)/σ.

So wird's benutzt

1. Gib den Mittelwert (μ) und die Standardabweichung (σ) ein. Leer lassen für die Standardnormalverteilung (μ=0, σ=1).
2. Wähle aus, was berechnet werden soll — die kleinen Symbole zeigen, welcher Bereich der Kurve eingefärbt wird.
3. Gib den Wert (oder die Werte) bzw. die Wahrscheinlichkeit ein und klicke auf Berechnen.
4. Erkunde das Diagramm: Fahre mit der Maus darüber, um an jedem Punkt x, die Dichte f(x) und die kumulative Wahrscheinlichkeit abzulesen; ziehe die runden Griffe, um die Grenzen zu verschieben — die Ergebnisse aktualisieren sich beim Ziehen.

Die Dichtefunktion der Normalverteilung

f(x) = 1σ√(2π) exp(−(x − μ)²2σ²)     und der Z-Wert:   z = x − μσ

Was ist die Normalverteilung?

Die Normalverteilung, auch als Gauß-Verteilung bekannt, ist die am häufigsten verwendete Verteilung in der statistischen Analyse. Viele natürliche Messgrößen folgen ihr oder ähneln ihr — zum Beispiel Körpergröße, Gewicht und Messfehler. Sie hat eine symmetrische „Glockenkurven“-Form: Die meisten Daten konzentrieren sich um den Mittelwert, und die Häufigkeit nimmt ab, je weiter die Werte vom Zentrum entfernt sind.

Gemäß dem Zentralen Grenzwertsatz nähert sich die Verteilung der Summe oder des Mittelwerts vieler unabhängiger Zufallsvariablen einer Normalverteilung an, selbst wenn die Variablen selbst nicht normalverteilt sind — je größer der Stichprobenumfang, desto größer die Ähnlichkeit.

Die Standardnormalverteilung ist der Spezialfall mit μ = 0 und σ = 1. Wenn X der Verteilung N(μ, σ²) folgt, folgt der standardisierte Wert z = (x − μ)/σ der Standardnormalverteilung. Daher lässt sich jede Normalverteilungs-Wahrscheinlichkeit aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung berechnen: P(X ≤ x) = Φ(z). Genau das macht dieser Rechner — und zeigt die Standardisierung im Abschnitt Schritt-für-Schritt.

Suchst du andere Verteilungen (Binomial, t, Chi-Quadrat, F, Poisson…)? Nutze den Rechner für alle Verteilungen.